Un plano queda perfectamente determinado con tres puntos que no sean colineales. Si cada punto está sobre un eje cristalino diferente, el plano puede especificarse dando las coordenadas de los puntos en función de las longitudes reticulares a, b y c. Sin embargo, resulta de mayor utilidad especificar la orientación de un plano mediante los índices determinados por las siguientes reglas:
– 1 Se encuentran las intersecciones con los ejes en función de las constantes de la red. Si el plano no corta a un eje, porque es paralelo a él, la intersección se toma como ∞.
– 2 Se toman los inversos de estos números, y luego se reducen a tres números enteros que tengan la misma relación, normalmente los números enteros más pequeños posibles (La reducción no se realiza cuando queremos referirnos a un plano concreto, y no a un conjunto de planos paralelos entre sí. Por ejemplo, aun cuando los planos (200) y (100) sean paralelos, pueden no tener la misma distribución atómica, de ahí que sea preciso especificar a cuál de ellos nos referimos). Los tres números resultantes, encerrados entre paréntesis, esto es (h k l), representan al plano.
Por ejemplo, si las intersecciones son 1, 4 y 2, los inversos serán \(\frac{1}{1}\), \(\frac{1}{4}\) y \(\frac{1}{2}\); los números enteros más pequeños que poseen la misma relación son 4, 1 y 2. Así que el plano se designará como (412). A continuación se muestran los índices de algunos planos en una celdilla cúbica.
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| Notación de Miller de algunos planos característicos de un cristal cúbico. |
Los planos equivalentes por razones de simetría pueden designarse de manera colectiva encerrando entre llaves los índices de uno cualquiera de sus miembros. Por ejemplo, {100} designa a la familia de planos equivalentes constituida por «todas las caras del cubo». El calificativo de equivalente tiene el mismo sentido que dimos para las direcciones: dos planos serán equivalentes siempre que la distribución atómica sobre ellos sea la misma.
Usando esta notación, resulta que en los sistemas cúbicos, una dirección perpendicular a un plano dado, tiene sus mismos índices. Es decir, la dirección [hkl] es perpendicular al plano (hkl). También se cumple en los sistemas cúbicos que si la arista de la celdilla es a, entonces la distancia del origen a un plano de índices (hkl) se calcula mediante la fórmula siguiente:
$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$$
Ésta es también la distancia entre planos paralelos consecutivos, si los índices h, k y l están reducidos a los enteros más pequeños.