Fracción de empaquetamiento

La fracción de empaquetamiento (f_v) es la fracción de espacio ocupado en la celdilla. Matemáticamente:

$$f_{v}=\frac{\textrm{volumen ocupado}}{\textrm{volumen de la celdilla}}$$

Si únicamente existe un tipo de átomos, y éstos se consideran esferas perfectas de radio r, entonces la fracción de empaquetamiento se calculará como:

$$f_{v}=\frac{\left ( \frac{4}{3}\pi r^{3} \right )n}{V_{c}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}\left [ X \right ]$$

siendo:

• n, el número de átomos que contiene la celdilla
• V_c, el volumen de la celdilla unidad

Si existiera más de un tipo de átomos, entonces la definición ha de extenderse del modo siguiente:

$$f_{v}=\frac{1}{V_{c}}\sum n_{i}\left ( \frac{4}{3}\pi r_{i}^{3} \right )$$

Siendo:

• n_i, el radio atómico de la especie i
• r_i, el radio atómico de la especie i

El concepto de fracción de empaquetamiento, referida a un volumen, puede extenderse a una superficie o una dirección, basándonos en las respectivas concentraciones superficiales o lineales. Así, definiremos la fracción de empaquetamiento superficial sobre el plano (h k l) como:

$$f_{\left (hkl \right )}=\pi r^{2}\left [ X \right ]_{\left ( hkl \right )}=\frac{\pi r^{2}n}{A}$$

donde n es el número de átomos con centro en una región del plano de área A.

Del mismo modo, la fracción de empaquetamiento lineal a lo largo de la dirección [h k l] se definirá como:

$$f_{\left (hkl \right )}=2\left [ X \right ]_{\left ( hkl \right )}=\frac{2rn}{L}$$

donde n es el número de átomos centrados en un segmento de longitud L sobre la dirección considerada.