Es interesante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal, porque muchas de las propiedades de los materiales cristalinos dependen del plano o dirección que se considere. Por ello, resulta especialmente importante encontrar una forma cómoda y rápida de identificar las direcciones y planos cristalográficos. La notación empleada se denomina notación de índices de Miller.

Tal como se procede habitualmente en matemáticas, las componentes de cualquier vector pueden conocerse restando las coordenadas de los puntos final e inicial. Si P1 = (u1, v1, w1) es el punto de partida y P2 = (u2, v2, w2), el punto final, el vector que va de P1 a P2 se calculará como:

$$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=P_{2}-P_{1}=(u_{2}-u_{1},v_{2}-v_{1},w_{2}-w_{1})$$

Pero frecuentemente no estaremos interesados en el módulo del vector, sino sólo en su dirección. La notación de Miller retiene únicamente este aspecto. Los índices de Miller de la dirección del vector \(\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\) son los componentes de \(\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\), pero reducidos a los enteros más pequeños posibles: h, k y l. La dirección se representaría como [ k h l ]. Nótese que los números no van separados por comas y que los paréntesis se han sustituido por corchetes. Si un número es negativo, por ejemplo, -2, se representa como \(\bar{2}\). Naturalmente, tal y como sucede con los vectores libres, bajo la designación [ k h l ] están incluidos todas las direcciones paralelas a la considerada. La siguiente figura muestra ejemplos de direcciones en celdillas cúbicas.

Notación de Miller de algunas direcciones características de un cristal cúbico. (Se muestran dos celdillas contiguas para facilitar la visión tridimensional).

Aun cuando las direcciones estén expresadas mediante índices de Miller y no en la notación vectorial convencional, puede operarse con ellas de la forma habitual. En particular, las direcciones pueden multiplicarse escalar y vectorialmente.

La ventaja del uso de la notación de Miller reside en que con ella, y sobre todo en los sistemas cúbicos, resulta muy fácil evidenciar las simetrías del cristal. En la figura anterior se puede observar que la dirección \(\left [ 111 \right ]\) constituye una diagonal principal de la celdilla, como también lo son las direcciones \(\left [ 1\bar{1}1 \right ]\), \(\left [ \bar{1}11 \right ]\) y \(\left [ 11\bar{1} \right ]\). Como puede verse, los índices son diferentes y, sin embargo, todas son diagonales principales del cubo y, en cierto sentido, son todas equivalentes. El sentido de esta equivalencia obedece, naturalmente, a razones de simetría: a lo largo de dos direcciones equivalentes en un cristal, la distribución atómica es idéntica; no sólo los átomos que se encuentran a lo largo de ella son los mismos, sino también sus distancias relativas.

Deberíamos disponer de una manera de designar colectivamente a toda una familia de direcciones equivalentes. La forma elegida es colocar entre corchetes con ángulo, \(\left \langle \right \rangle\), los índices de Miller de cualquier miembro de la familia. Por ejemplo, \(\left \langle 111 \right \rangle\) representa la familia de direcciones equivalentes de «las diagonales principales del cubo». De igual modo, \(\left \langle 001 \right \rangle\) representa a todas «las aristas del cubo».