Transformadas de la Imagen

En esta sección analizaremos técnicas de compresión basadas en la transformada de una imagen. En la codificación por transformación, se utiliza una transformada lineal, reversible, para hacer corresponder la imagen con un conjunto de coeficientes de la transformada, que después se cuantifican y se codifican. En la mayor parte de las imágenes naturales, un número significativo de coeficientes tiene pequeñas magnitudes y se pueden cuantificar de forma poco precisa (o se pueden eliminar totalmente) sin que ello suponga una distorsión apreciable en la imagen.

Estudiaremos distintos tipos de transformadas, todas ellas pueden expresarse de la forma:

donde T(u,v) es la transformada de f(x,y);  

g(x,y,u,v) es el núcleo de la transformación directa;

u y v toman valores de 0 a N-1.

Análogamente, la transformada inversa se expresa como:

donde h(x,y,u,v) es el núcleo de la transformación inversa.

Diremos que el núcleo directo es separable si g(x,y,u,v)=g₁(x,u) g₂(y,v).

Además el núcleo es simétrico si g₁ y g₂ son iguales.

Si el núcleo g(x,y,u,v) es separable y simétrico se puede expresar la transformada en forma matricial:

T = A F A

donde   F   es la matriz imagen y   T   es la transformada resultante.

Para obtener la transformada inversa, se multiplica a derecha e izquierda por una matriz B:

B T B=B A F A B

Si B=A^-1 entonces F=B T B. En otro caso, obtenemos una aproximación F :

F =  B T B

A continuación estudiaremos con detenimiento algunos tipos de transformada:

• La transformada de Hadamard. La transformada ordenada de Hadamard

• La transformada de Walsh. La transformada rápida de Walsh

• La transformada de Fourier. La transformada rápida de Fourier

• La transformada discreta del coseno