[Página anterior] [Página siguiente]

A. Suavizado morfológico de imágenes

A.1 Elección del tamaño del SE

A.2 Generalización del procedimiento

B. Procesamiento de las imágenes residuales

C. Formalización del algoritmo

C.1 Rutina principal: Morphological Image Cleaning (MIC)

C.2 Subrutina 2: filtro de suavizado OCCO(I,d)

C.3 Subrutina 3: Procesador de residuales TOPBOT(R,d,f,s)

A. Suavizado morfológico de imágenes

• Sea I que representa a una imagen.
  
• Sea I_z que representa la apertura (open) de la imagen con un elemento estructurante (SE) Z.
  
• Sea I^z que representa la clausura (close) de la imagen con un elemento estructurante (SE) Z.
  
• Sea

OCCO(I;Z) = 1/2 *[ ( I_z)^z +(I^z )_z ]

un filtro que es la media de los píxeles de las apertura-clausura de I y la clausura-apertura de I.

OCCO(I;Z) es aproximadamente suave dependiendo del SE usado y, a diferencia de sus operadores constituyentes, imparcial con respecto al nivel de gris.

• MIC usa un filtro OCCO para suavizar.
  
• MIC ha sido diseñado y probado usando solo SE en forma de disco.
  
• MIC tiene dos parámetros asociados al SE:

1. Tamaño del SE, siendo éste su diámetro.
2. Elección de usar un plano o una cima curvada.

A.1 Elección del tamaño del SE

• El SE tiene forma de disco.
  
• El tamaño va en función del diámetro.
  
• La elección es extremadamente importante. De hecho el algoritmo emplea distintos tamaños para el SE.
  
• La imagen se filtra con un rango de tamaños y se opera con varias imágenes residuales separadamente.
  
• Para un diámetro suficientemente grande, la diferencia de de imágenes residuales contienen todo el ruido así como todas las características que eran demasiado pequeñas para ser aproximadas por el SE.
  
• Para la mayoría de las imágenes, el diámetro necesitado para suavizar imágenes es tan grande que las imágenes residuales contienen mucha información de las características.
  
• Durante las investigaciones que condujeron al algoritmo MIC, se observó:
  
  • En una imagen residual, I menos una imagen filtrada con OCCO mediante un diámetro pequeño: las regiones del ruido y las regiones características son claramente identificables y fácilmente separables. Sin embargo la cantidad de ruido presente en la imagen OCCO con pequeño SE resulta quedar aún ruidosa. Luego si el diámetro d es pequeño el algoritmo falla para aclarar la imagen.
    
  • Si el diámetro d es grande es difícil segmentar la imagen residual.

A.2 Generalización del procedimiento

• Se trata de generalizar el procedimiento. Suavizar la imagen con muchos filtros OCCO de diferentes diámetros. El resultado es una distribución de tamaños morfológicos.
  
  • Sea S_j el resultado de suavizar la imagen I con un filtro OCCO mediante un diámetro de SE llamado d_j.
    
  • Sea S_o=I, se asume que d₁<d₂<...<d_k y que d₀=1 ya que OCCO de I con d₀=1 es I.
    
  • Entonces:

    D_j = S_j-1 - S_j

    que es la j-ésima imagen residual.
    

  • D_j tiene características no más grandes que d_j y no más pequeñas que d_j-1, esto es, ninguna de las características en D_j podrían cubrir el SE con diámetro d_j; estas pueden cubrir al SE con un diámetro d_j-1.
    
  • Cada D_j es un imagen residual intermedia que constituye una "banda de tamaño" o size band.

B. Procesamiento de las imágenes residuales

• Se asume que cada imagen residual D_j contiene características y ruido.
  
• La diferencia cualitativa entre D_j y S_j-1 es que D_j es un S_j-1 aplanado (flattened out).
  
• Las regiones de grandes amplitudes de D_j indican grandes variaciones en S_j-1 desde el comportamiento de S_j. Tales regiones son indudablemente de mayor significancia que las regiones de pequeñas amplitudes.
  
• Si la desviación estándar de la amplitud del ruido en I es más pequeña que las características, entonces es razonable asumir que esto es verdad dentro de varias bandas de tamaño. Es razonable para ruido blanco ya que su característica frecuencia espacial es plana.
  
• Si la desviación estándar del ruido es más pequeña que las amplitudes de la mayoría de las características importantes en una escala dada, entonces es posible eliminar el ruido de D_j mediante binarización.
  
• Ya que el residual D_j es la diferencia entre dos salidas del filtro OCCO, esta es una imagen señalada.
  
• Las regiones de ceros de D_j indican áreas donde S_j-1 y S_j coinciden. Las regiones positivas de D_j son áreas en S_j-1 que son más brillantes que S_j. Las regiones negativas son áreas oscuras en S_j-1 con respecto a D_j.
  
• Sea la imagen residual positiva llamada como "imagen tophat" T_j:

• Sea la imagen residual negativa llamada como "imagen bothat" B_j:

• Nótese que B_j no es el negativo de una imagen.
  
• Sea R_j que representa indiferentemente a T_j o B_j. El objetivo del procesamiento de R_j es segmentarlo en regiones de características y regiones de ruido.
  
• El primer paso en la segmentación de R_j es su binarización. Una binarización automática en sí misma es un arte. Como muchos algoritmos, MIC realiza la binarización mediante pR_j(n), el cuál sigue una distribución de probabilidad de niveles de grises de R_j.
  
• Sea mR_j, la raíz cuadrada de los segundos momentos de pR_j(n):

• La experimentación ha demostrado que la binarización 

t = f·mRj, 

donde f Î [1,2] rinde los mejores resultados para la mayoría de las imágenes. El valor de f es un parámetro libre en algoritmo MIC que por defecto es 1.

• Sea X_Rj una imagen y t un umbral de binarización tal que:

• Entonces X_Rj es la máscara de aquellos píxeles en R_j que son igual o mayores que el umbral de binarización.
  

• En general, X_Rj contendrá muchos 1 aislados (1 rodeados de 0 en un entorno de 3x3) y muchas regiones de sólo dos 1 adjuntos.
  

• Un píxel o una región dos píxeles aislados es común ser visto por una persona como ruido en lugar de característica. Por lo tanto, el algoritmo los elimina.
  

• Para la eliminación de píxeles aislados se procede de esta manera: primero, se aplica un filtro de rango a X_Rj para encontrar la localización de todos los entornos de 3x3 de "unos" aislados; segundo, formar la lógica AND al resultado con X_Rj. El resultado de esto es una máscara de los píxeles en R_j que son como mínimo tan grandes como el binarizado y están mas cerca como mínimo de otros dos píxeles en un entorno de 3x3.
  
  

  • Ejemplo1.- Filtro de rango. Si consideramos una región de 4x4, con parámetro s=1:
    
    (Paso 4 TOPBOT) Imagen binarizada de la imagen residual:

    0	0	0	1
    0	1	1	0
    0	1	1	1
    1	0	1	0

    
    (Paso 5 TOPBOT) Resultado del filtro de rango aplicado a la imagen binarizada:

    0	0	0	0
    0	1	1	0
    0	1	1	0
    0	0	0	0

    El filtro de rango se aplica en cada  entorno de 3x3 de la imagen desplazándo éste de izquierda a derecha y de arriba a abajo.
    
    (Paso 6 TOPBOT) Dilatación del resultado del filtro de rango:

    1	1	1	1
    1	1	1	1
    1	1	1	1
    1	1	1	1

    Observaciones: Con valores de s muy pequeños se consigue retener las características de la imagen residual, y con valores de s muy grandes se pierden características de la imagen residual, ya que al final se procede a una máscara con la imagen residual binarizada.

     

• Ejemplo2.- (PASO 7 TOPBOT, funcion ISODEL)Eliminación de píxeles aislados. Considerar la región 5x5
  

1	0	1	0	1
0	0	0	0	0
1	0	1	0	1
0	0	0	0	0
1	0	1	0	1

Los entornos 3x3 en cada una de las esquinas tienen 4 "unos", aunque el "uno" en el centro de la región 5x5 está aislado. Tales píxeles aislados pueden ser eliminados mediante una simple operación de borrado. El borrado puede ocasionar que algunas de los entornos tengan menos de 3 "unos". Por tanto, es necesario iterar con el filtrado de rango y realizar borrados de píxeles aislados.

• El mínimo número de "unos" dentro de un entorno de 3x3 es otro parámetro libre del algoritmo. Por defecto su valor es 3 píxeles.
  

• Hasta este punto, sería posible usar X_Rj para seleccionar aquellos píxeles de R_j, que se corresponden, presumiblemente, con características importantes. Estas características son devueltas a S_j para restaurar algunos de sus detalles. 
  

• Sin embargo, el binarizado de R_j recorta las "bases" de grandes características. Cuando las características son devueltas a S_j, el recorte introduce distorsión que no estaba presente en la imagen original.
  

• Si representamos la imagen como una señal, la distorsión se debe a los picos de la imagen que quedan poco visibles.
  

  • Solución:  
    

  • Para recuperar las bases de estas características, MIC expande las regiones de no-ceros de X_Rj a través del procesado de esqueletos morfológicos. El esqueleto de una región es su medial axis (medio eje) MAT.
    

  • El procedimiento usa el algoritmo de esqueleto conocido como MAT.
    

  • Luego se dilata el esqueleto con un elemento estructurante binario de diámetro d_j.
    

  • La característica más grande en D_j debe ser mas pequeña que el elemento estructurante de radio d_j. Por tanto, por dilatación del esqueleto con el elemento estructurante de radio d_j, el algoritmo encuentra el soporte del área más grande posible que podría incluir picos y bases.
    

• Para completar el procesamiento de la imagen residual, el algoritmo pone a cero cualquier píxel en R_j cuyo soporte no está en el esqueleto dilatado.
  

• Finalmente, el algoritmo recombina la información de las imágenes residuales con la imagen suavizada.
  

• Se asume que el algoritmo calculó las imágenes suavizadas S₁...S_k usando elementos estructurantes con diámetros d₁...d_k.
  

• Se asume que el ruido queda eliminado de tophats T₁...T_k y de bothats B₁...B_k.
  

• La imagen más suavizada, S_k, es la base de la reconstrucción. Las características de brillo se devuelven a S_k mediante la suma de todos los tophats aclarados. Las características de oscuridad se devuelven a S_k mediante la substracción de la suma de todos los bothats aclarados, esto es

donde: J es la imagen aclarada. T_j es la j-ésima tophat aclarada del ruido. B_j es la j-ésima bothat aclarada del ruido.

C. Formalización del algoritmo

• A continuación se presenta una formalización del algoritmo de aclarado de imágenes. Se divide en tres partes: una rutina principal y dos subrutinas.
  

• La rutina principal controla la descomposición de la imagen en bandas de tamaño, crea los residuales, los manda para ser aclarados y recombina los resultados.
  

• La primera subrutina es el procedimiento de suavizado de las imágenes llamado OCCO.
  

• La segunda subrutina es el procesador de imágenes residuales TOPBOT.

C1. Rutina principal: Morphological Image Cleaning (MIC)

• Sea I una imagen en escala de grises, y sea I* la versión suavizada de I.
  

• Sea S = OCCO(I;d) la media de los píxeles de la apertura-clausura de I y la clausura-apertura de I, donde las operaciones son realizadas mediante un elemento estructurante en forma de disco con diámetro d.
  

• OCCO(I;d) se implementa en la subrutina 1.
  

• Sea T el tophat de I con respecto a S, y sea B el bothat de I con respecto a S.
  

• Sea T* = TOPBOT(T;d,f,s) el aclarado del tophat T, y sea B* = TOPBOT(B;d,f,s) el aclarado del bothat B.
  

• Sea f un factor por el cual multiplicamos la raíz cuadrada de los segundos momentos cuando calculamos el binarizado, y sea s el mínimo área del entorno de 3x3 de una región en la imagen residual aclarada.
  

• TOPBOT() se implementa en la subrutina 2.
  

• Sea Tacc los acumulados tophat aclarados, y sea Bacc los acumulados bothat aclarados.
  

• Sea k el número de bandas de tamaño a ser computadas.
  

• Sea {d₁...d_k} enteros tal que d₁<...<d_k.
  

• Sea j una variable índice.
  

• Todas las adiciones y substracciones de imágenes son a tamaño de píxel.
  

• La elección normal de los parámetros es d_j = 2^j+1+1, f = 1, s = 3. Ocasionalmente es útil especificar un valor a f para el tophat y otro para el bothat, de igual forma sucede con s.

1. Inicializar variables e imágenes: j=0, Tacc=0,Bacc=0;

2. j=j+1;

3. S=OCCO(I;dj)

4. Para todos los píxeles (x,y)
   

5. T* = TOPBOT(T;dj,f,s)

6. Tacc=Tacc+T*;

7. Para todos los píxeles (x,y)  
   

8. B* = TOPBOT(B;dj,f,s)

9. Bacc=Bacc+B*;

10. I=S;

11. si j < k entonces ir al paso 2;

12. I* = S + Tacc - Bacc;

C2. Subrutina 2: filtro de suavizado OCCO(I,d)

• Sea I, C, O, CO, OC y S imágenes.
  

• Sean OPEN(I,d) y CLOSE(I,d) que representan respectivamente las aperturas y clausuras de una imagen mediante un elemento estructurante en forma de disco de diámetro d.

1. O = OPEN(I,d);

2. OC = CLOSE(O,d);

3. C = CLOSE(I,d);

4. CO = OPEN(C,d);

5. Para todos los píxeles (x,y), 
   S(x,y) = [OC(x,y)+CO(x,y)]/2;

C3. Subrutina 3: Procesador de residuales TOPBOT(R,d,f,s)

• Sea R una imagen residual (tophat o bothat).
  

• Sea d el diámetro de un elemento estructurante usado para crear la imagen suavizada.
  

• Sea histo(R) el histograma de escala de grises de R.
  

• Sea E{n²} el segundo momento de la distribución de probabilidad de escala de grises de R.
  

• Sea THRESH(R,t) que representa la binarización de R con un umbral t.
  

• X_i es una imagen binaria máscara.
  

• El parámetro f es un número real en el intervalo [1,2].
  

• El parámetro s es un número entero en el intervalo {1,..,9}.
  

• Sea RANK(X_i,s) un rango de filtro de orden s, que devuelve una imagen binaria X_i+1 tal que X_i+1(x,y) = 1, entonces X_i(x,y) es el centro de un entorno 3x3 en X_i que contiene al menos s píxeles blancos. Si X_i+1(x,y) = 0, entonces el entorno 3x3 de X_i centrado en (x,y) contiene menos que s píxeles.
  

• Sea DILATE(X_i,d) la dilatación de X_i con un disco de radio d (cuando d=3, el "disco" es un cuadrado 3x3).
  

• AND es la operación lógica a nivel de píxel.
  

• ISODEL(X_i) es una función que elimina los píxeles aislados.
  

• SKELETON(X_i) calcula el esqueleto morfológico.

1. h = histo(R);

2. m = (calculado desde h);

3. t = f*m;

4. X₀ = THRESH(R,t);

5. X₁ = RANK(X₀,s);

6. X₂ = DILATE(X₁,3);

7. X₃ = X₀ AND X₂;

8. X₄ = ISODEL(X₃);

9. si existieron borrados en el paso 8, hacer X₀ = X₄; y volver al paso 5

10. X₅ = SKELETON(X₄);

11. X₆ = DILATE(X₅,d);

12. R* = R AND X₆;

[Página anterior] [Página siguiente]