{"id":555,"date":"2019-07-08T06:38:31","date_gmt":"2019-07-08T04:38:31","guid":{"rendered":"http:\/\/grupo.us.es\/derematerialia\/estructuras-cristalinas\/?page_id=555"},"modified":"2019-11-21T08:14:11","modified_gmt":"2019-11-21T07:14:11","slug":"direcciones","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/grupo.us.es\/derematerialia\/estructuras-cristalinas\/direcciones\/","title":{"rendered":"Direcciones"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: justify;\">Es interesante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal, porque muchas de las propiedades de los materiales cristalinos dependen del plano o direcci\u00f3n que se considere. Por ello, resulta especialmente importante encontrar una forma c\u00f3moda y r\u00e1pida de identificar las direcciones y planos cristalogr\u00e1ficos. La notaci\u00f3n empleada se denomina&nbsp;<strong><em>notaci\u00f3n de \u00edndices de Miller<\/em><\/strong>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Tal como se procede habitualmente en matem\u00e1ticas, las componentes de cualquier vector pueden conocerse restando las coordenadas de los puntos final e inicial. Si P<sub>1<\/sub> = (<em>u<\/em><sub>1<\/sub>,&nbsp;<em>v<\/em><sub>1<\/sub>,&nbsp;<em>w<\/em><sub>1<\/sub>) es el punto de partida y P<sub>2<\/sub> = (<em>u<\/em><sub>2<\/sub>,&nbsp;<em>v<\/em><sub>2<\/sub>,&nbsp;<em>w<\/em><sub>2<\/sub>), el punto final, el vector que va de P<sub>1<\/sub> a P<sub>2<\/sub> se calcular\u00e1 como:<\/p>\n\n\n $$\\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=P_{2}-P_{1}=(u_{2}-u_{1},v_{2}-v_{1},w_{2}-w_{1})$$\n\n\n<p style=\"text-align: justify;\">Pero frecuentemente no estaremos interesados en el m\u00f3dulo del vector, sino s\u00f3lo en su direcci\u00f3n. La notaci\u00f3n de Miller retiene \u00fanicamente este aspecto.\u00a0<strong>Los \u00edndices de Miller de la direcci\u00f3n del vector  \\(\\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\\) son los componentes de  \\(\\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\\), pero reducidos a los enteros m\u00e1s peque\u00f1os posibles:<em>\u00a0h<\/em>,\u00a0<em>k<\/em>\u00a0y\u00a0<em>l<\/em><\/strong>. La direcci\u00f3n se representar\u00eda como [ k h l ]. N\u00f3tese que los n\u00fameros no van separados por comas y que los par\u00e9ntesis se han sustituido por\u00a0<strong>corchetes<\/strong>. Si un n\u00famero es negativo, por ejemplo, -2, se representa como  \\(\\bar{2}\\). Naturalmente, tal y como sucede con los vectores libres, bajo la designaci\u00f3n [ k h l ]\u00a0est\u00e1n incluidos todas las direcciones paralelas a la considerada. La siguiente figura muestra ejemplos de direcciones en celdillas c\u00fabicas.<\/p>\n\n\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/grupo.us.es\/derematerialia\/estructuras-cristalinas\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/05\/direcciones_clip_image010.jpg\" alt=\"\" width=\"600\"><\/p>\n<p class=\"pie_img\">Notaci\u00f3n de Miller de algunas direcciones caracter\u00edsticas de un cristal c\u00fabico. (Se muestran dos celdillas contiguas para facilitar la visi\u00f3n tridimensional).<\/p>\n\n\n<p style=\"text-align: justify;\">Aun cuando las direcciones est\u00e9n expresadas mediante \u00edndices de Miller y no en la notaci\u00f3n vectorial convencional, puede operarse con ellas de la forma habitual. En particular, las direcciones pueden multiplicarse escalar y vectorialmente.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">La\u00a0<strong>ventaja\u00a0<\/strong>del uso de la\u00a0<strong>notaci\u00f3n de Miller<\/strong> reside en que con ella, y sobre todo en los sistemas c\u00fabicos, resulta muy f\u00e1cil evidenciar las simetr\u00edas del cristal. En la figura anterior se puede observar que la direcci\u00f3n  \\(\\left [ 111 \\right ]\\) constituye una diagonal principal de la celdilla, como tambi\u00e9n lo son las direcciones  \\(\\left [ 1\\bar{1}1 \\right ]\\),  \\(\\left [ \\bar{1}11 \\right ]\\) y  \\(\\left [ 11\\bar{1} \\right ]\\). Como puede verse, los \u00edndices son diferentes y, sin embargo, todas son diagonales principales del cubo y, en cierto sentido, son todas equivalentes. El sentido de esta\u00a0<em>equivalencia<\/em>\u00a0obedece, naturalmente, a razones de simetr\u00eda: a lo largo de dos direcciones equivalentes en un cristal, la distribuci\u00f3n at\u00f3mica es id\u00e9ntica; no s\u00f3lo los \u00e1tomos que se encuentran a lo largo de ella son los mismos, sino tambi\u00e9n sus distancias relativas.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Deber\u00edamos disponer de una manera de designar colectivamente a toda una\u00a0<strong><em>familia de direcciones equivalentes<\/em><\/strong>. La forma elegida es colocar entre corchetes con \u00e1ngulo,  \\(\\left \\langle \\right \\rangle\\), los \u00edndices de Miller de cualquier miembro de la familia. Por ejemplo,  \\(\\left \\langle 111 \\right \\rangle\\) representa la familia de direcciones equivalentes de \u00ablas diagonales principales del cubo\u00bb. De igual modo,  \\(\\left \\langle 001 \\right \\rangle\\) representa a todas \u00ablas aristas del cubo\u00bb.<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Es interesante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal, porque muchas de las propiedades de los materiales cristalinos dependen del plano o direcci\u00f3n que se considere. Por ello, resulta especialmente importante encontrar una forma c\u00f3moda y r\u00e1pida de identificar las direcciones y planos cristalogr\u00e1ficos. 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